记载于公元972年M.B.Alhocain的阿拉伯文稿中的同余数问题被称为"千年数论难题",大数学家费马等都对此问题进行过系统性的研究。1952年,数学家Heegner证明了模8余5、6、7的素数或素数的两倍都是同余数。近年来,中科院数学院团队在这个已有千余年历史的同余数问题研究中取得重大突破,通过算术几何、自守形式、L函数、Galois表示等数学分支交叉融合研究,证明了对任意给定K,均存在无穷多个本质素因子个数恰为K的同余数,并对相应的椭圆曲线证明了"七大千禧问题"之一的BSD猜想。主要结果发表于《美国科学院院刊》(PNAS)和《剑桥数学杂志》,剑桥大学教授、国际数论权威John H.Coates在PNAS发表专文评论,指出该问题是"数论,也许是整个数学中,最古老未解的主要问题",田野的工作是这个古老问题的里程碑"。成果主要完成人获拉马努金奖、晨兴数学金奖。同样起源于数论的Langlands纲领,被数学界公认为是21世纪最重大的数学难题之一,它预言了数论、代数群与李群、代数几何、分析等数学各分支之间存在着的深刻联系,而上述提到的"千禧问题"之一的BSD猜想,和另一"千禧问题"著名的Riemann猜想也都与Langlands纲领密切相关。近年来在Langlands纲领领域研究中已产生两个菲尔兹奖,但其中心问题还远未解决。L-函数是Langlands纲领的核心对象,而典型群表示论是研究L-函数的基本工具。近年来,数学院团队在Langlands纲领这一重大问题上取得突破,和国际数学家合作彻底解决了典型群重数一猜想,以及典型群Theta对应理论中3个最基本问题:重数保守猜想、守恒律猜想和对偶猜想,这些成果为相关L-函数理论奠定了基础。美国Mathematical Reviews期刊评论该项成果是"该领域的基本定理之一"。国际同行评价"该成果证明了Theta对应理论中最重要猜想之一",主要结果发表于数学国际顶尖期刊Ann.Math.、Invent.Math.和J.Am.Math.Soc.上。

剑桥大学教授John H. Coates 在PNAS 发专文评价此成果

同余数问题是数学中最古老的未解之谜。根据古书记载,同余数最早的纪录始见于1 000多年之前的一个无名氏阿拉伯手稿。在这个手稿里,一个同余数被定义为边长为有理数直角三角形的面积。同余数问题就是判断一个给定的正整数是否是同余数。关于构造同余数的第一个重要成就是由德国数学家Heegner在1952年得到。他具体地构造出无穷多个同余素数。在其后的60年中,数学家企图对任意一个正整数K,构造出无穷多个为K-素数积的同余数。当K=2时,有一些零星的结果。一直到2011年这个构造由田野给出。田野的工作基于同余数问题和BSD猜想的联系。BSD猜想是Clay研究所2000年列出的奖金为100万美元的7大千禧问题之一。田野的工作利用了关于BSD猜想最新研究成果,并创造了一个新的递推方法。田野的方法已经被用来证明一些关于同余数和BSD更广泛和深刻的结果。

Langlands纲领是由普林斯顿数学家Langlands在1967年提出。这个纲领描述了数学中不同分支的内在联系。在1983年美国科学院给美国总统科技办公室的汇报中将Langlands纲领与1900年的Erlange纲领媲美。Erlange纲领用群对称统一描述了数学中各科几何学,包括爱因斯坦相对论所用的黎曼几何及Minkowski几何。研究Langlands纲领中最重要的两个工具是周期积分及迹公式。在周期积分,尤其是局部周期积分中,孙斌勇的工作已成为众多国际数学家工作不可替代的基础。李文威工作主要集中在Metaplectic群的迹公式。他是第一个对这种群迹公式做系统研究的人。毫无疑问,孙斌勇与李文威已经在Langlands纲领中做出重要贡献。

综上所述,田野、孙斌勇与李文威工作代表中国在基础数学一些分支上的研究已达到世界先进水平。他们的工作可能会带动中国数学的全面发展。

张寿武 普林斯顿大学教授,1996年证明世界性难题波戈莫洛夫猜想,1997年在世界上率先于全实域上推广了格罗斯-乍基亚公式,1998年应邀在德国柏林举行的世界数学家大会上做45分钟报告,同年获旨在奖励全球杰出华人数学家的晨兴数学金奖,2011年当选美国艺术与科学院院士,2016年当选美国数学学会会士。